Question

4．某班A，B，C，D，E5個同學先坐好，然后玩坐座位的游戲，當坐回自己原來的位置上稱為“坐對”，否則稱作“坐錯“．
（1）求只有兩個人“坐對”的概率；
（2）若每“坐對”一個人得1分，“坐錯“得-1分，設5人得分和的絕對值為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）從5人中任選2人坐對，其余三人全做錯只有2種情況，從而得出概率；
（2）分別計算每種情況的概率和得分，從而得出X的分布列和數學期望．

解答 解：（1）若只有兩人坐對，則另外三人全坐錯，
∴只有兩人坐對的概率為P=$\frac{{C}_{5}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{6}$．
（2）設事件A_n表示有n個人坐對位置，n=0，1，2，3，5
則P（A₁）=$\frac{{C}_{5}^{1}×9}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{3}{8}$，
P（A₂）=$\frac{1}{6}$，
P（A₃）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{12}$，
P（A₅）=$\frac{1}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{120}$，
∴P（A₀）=1-$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$-$\frac{1}{120}$=$\frac{11}{30}$．
∴X的可能取值為5，3，1，
P（X=1）=$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$=$\frac{1}{4}$，P（X=3）=$\frac{3}{8}$，P（X=5）=$\frac{1}{120}+\frac{11}{30}$=$\frac{3}{8}$．
∴X的分布列為：

X	1	3	5
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$

∴EX=1×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{3}{8}$+5×$\frac{3}{8}$=$\frac{13}{4}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望，屬于中檔題．