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15.已知正項數列{an}滿足a1=1,(n+1)a2n+1+an+1an-na${{\;}_{n}}^{2}$=0,數列{bn}的前n項和為Sn且Sn=1-bn
(1)求{an}和{bn}的通項;
(2)令cn=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$,
①求{cn}的前n項和Tn
②是否存在正整數m滿足m>3,c2,c3,cm成等差數列?若存在,請求出m;若不存在,請說明理由.

分析 (1)(n+1)a2n+1+an+1an-na${{\;}_{n}}^{2}$=0,因式分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0,又an+1+an>0.可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$.利用an=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a1,可得an.數列{bn}的前n項和為Sn且Sn=1-bn.n≥2時,bn=Sn-Sn-1,化為:bn=$\frac{1}{2}$bn-1.n=1時,b1=S1=1-b1,解得b1.利用等比數列的通項公式即可得出bn
(2)①cn=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$,利用錯位相減法與等比數列的求和公式即可得出.
②假設存在正整數m滿足m>3,c2,c3,cm成等差數列,2c3=c2+cm,代入化為:2m-2=m.對m分類討論即可得出.

解答 解:(1)∵(n+1)a2n+1+an+1an-na${{\;}_{n}}^{2}$=0,∴[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0,又an+1+an>0.
∴(n+1)an+1-nan=0,解得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$.
∴an=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a1=$\frac{n-1}{n}$$•\frac{n-2}{n-1}$•$\frac{n-3}{n-2}$•…•$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{n}$.
∴an=$\frac{1}{n}$.
∵數列{bn}的前n項和為Sn且Sn=1-bn
∴n≥2時,bn=Sn-Sn-1=1-bn-(1-bn-1),化為:bn=$\frac{1}{2}$bn-1
n=1時,b1=S1=1-b1,解得b1=$\frac{1}{2}$.
∴數列{bn}是等比數列,首項與公比都為$\frac{1}{2}$.
∴bn=$(\frac{1}{2})^{n}$.
(2)①cn=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$,
∴數列{cn}的前n項和Tn=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$.
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$,
可得:$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}×[1-(\frac{1}{2})^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$,
可得:Sn=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$.
②假設存在正整數m滿足m>3,c2,c3,cm成等差數列,
則2c3=c2+cm
∴$\frac{6}{{2}^{3}}$=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{m}{{2}^{m}}$,化為:2m-2=m.
m=4時,滿足:2m-2=m.
m≥5時,2m-2-m=(1+1)m-2-m
=1+${∁}_{m-2}^{1}$+${∁}_{m-2}^{2}$+${∁}_{m-2}^{3}$+…-m
=1+m-2+$\frac{(m-2)(m-3)}{2}$+${∁}_{m-2}^{3}$+…-m
=$\frac{(m-2)(m-3)}{2}$+${∁}_{m-2}^{3}$+…-1>0.
∴m≥5時,2m-2-m>0,因此2m-2=m無解.
綜上只有m=4時,滿足m>3,c2,c3,cm成等差數列.

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、累積方法、方程的解法、分類討論方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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