Question

10．設a為常數，已知函數f（x）=x²-alnx在區間[1，2]上是增函數，$g（x）=x-a\sqrt{x}$在區間[0，1]上是減函數．設P為函數g（x）圖象上任意一點，則點P到直線l：x-2y-6=0距離的最小值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由函數f（x）=x²-alnx在區間[1，2]上是增函數，$g（x）=x-a\sqrt{x}$在區間[0，1]上是減函數，可求得a=2，設P（t，t-2$\sqrt{t}$），（t≥0）
則點P到直線l：x-2y-6=0距離為d=$\frac{|t-2（t-2\sqrt{t}）-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|t-4\sqrt{t}+6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{（\sqrt{t}-2）^{2}+2}{\sqrt{5}}$$≥\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$即可．

解答 解：$f′（x）=2x-\frac{a}{x}，（x＞0）$，要使函數f（x）=x²-alnx在區間[1，2]上是增函數，
則f$f′（x）=2x-\frac{a}{x}≥0在[1，2]上恒成立$，a≤（2x²）_min=2．
要使$g（x）=x-a\sqrt{x}$在區間[0，1]上是減函數，則$g′（x）=1-\frac{a}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}≤0在（1，2]$恒成立．
a$≥（2\sqrt{x}）_{max}=2$
綜上，a=2
故g（x）=x-2$\sqrt{x}$，設P（t，t-2$\sqrt{t}$），（t≥0）
則點P到直線l：x-2y-6=0距離為d=$\frac{|t-2（t-2\sqrt{t}）-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|t-4\sqrt{t}+6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{（\sqrt{t}-2）^{2}+2}{\sqrt{5}}$$≥\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

點評 本題考查了函數的單調性，點到直線距離的最值，屬于中檔題．