Question

2．O是△ABC所在平面上的一點．內角A．B．C所對的邊分別是3、4、5，且3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．若點P在△ABC的邊上．則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的取值范圍為[-5，10]．

Answer 1

分析 O為△ABC的內心，建立平面坐標系，分三種情況討論$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的取值范圍．

解答 解：∵3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴O是Rt△ABC的內心，
以CB，CA為x軸，y軸建立平面坐標系，則C（0，0），B（3，0），A（0，4），O（1，1），
∴$\overrightarrow{OA}$=（-1，3），$\overrightarrow{BA}$=（-3，4），$\overrightarrow{OB}$=（2，-1）．
（1）若P在線段BC上，設P（x，0），0≤x≤3，則$\overrightarrow{OP}$=（x-1，-1），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$=1-x-3=-x-2，
∴-5≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$≤-2，
（2）若P在線段AC上，設P（0，x），0≤x≤4，則$\overrightarrow{OP}$=（-1，x-1），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$=1+3（x-1）=3x-2，
∴∴-2≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$≤10．
（3）若P在線段AB上，設$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BA}$=（-3λ，4λ），0≤λ≤1，
則$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}$=（2-3λ，4λ-1），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$=3λ-2+3（4λ-1）=15λ-5，
∴-5≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$≤10．
綜上，-5≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$≤10，
故答案為：[-5，10]．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，轉化為坐標運算是常用方法，屬于中檔題．