Question

7．已知數列{a_n}的通項公式a_n=5-n，其前n項和為S_n，將數列{a_n}的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數列{b_n}的前3項，記{b_n}的前n項和為T_n，若存在m∈N^*，使對任意n∈N^*，總有S_n＜T_n+λ恒成立，則實數λ的取值范圍是（$\frac{5}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由a_n=5-n，可得：a₁=4，a₂=3，a₃=2，a₄=1，可知：抽去a₂=3，剩下的3項4，2，1為等比數列{b_n}的前3項，則b₁=4，b₂=2，公比q=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$．利用求和公式可得：{b_n}前n項和為T_n．又S_n=$\frac{n（4+5-n）}{2}$，由存在m∈N^*，使對任意n∈N^*，總有S_n＜T_n+λ恒成立，利用單調性即可得出．

解答 解：由a_n=5-n，可得：a₁=4，a₂=3，a₃=2，a₄=1，可知：抽去a₂=3，剩下的3項4，2，1為等比數列{b_n}的前3項，則b₁=4，b₂=2，公比q=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$．
記{b_n}前n項和為T_n=$\frac{4[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=8$[1-（\frac{1}{2}）^{n}]$．
又S_n=$\frac{n（4+5-n）}{2}$，由存在m∈N^*，使對任意n∈N^*，總有S_n＜T_n+λ恒成立，
∴$\frac{n（4+5-n）}{2}$＜8$[1-（\frac{1}{2}）^{n}]$+λ，
∴λ＞$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{9}{2}$n+8×$（\frac{1}{2}）^{n}$-8=f（n），
由f（n）=$-\frac{1}{2}$$（n-\frac{9}{2}）^{2}$+8×$（\frac{1}{2}）^{n}$+$\frac{17}{8}$，
在n≥5時單調遞減，可得f（5）=$\frac{1}{4}$，f（1）=0，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=$\frac{5}{2}$．
故答案為：（$\frac{5}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．