Question

17．設數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=1-$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，記數列{a_n}的前n項之積為T_n，則T₂₀₁₈=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 依題意，數列{a_n}是以4為周期的函數數列，可求得a₁•a₂•a₃•a₄=a₅•a₆•a₇•a₈=…=a₂₀₁₃•a₂₀₁₄•a₂₀₁₅•a₂₀₁₆=1，從而可得答案．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=1-$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，
∴a₂=$1-\frac{2}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，a₃=$1-\frac{2}{\frac{1}{3}+1}$=-$\frac{1}{2}$，a₄=$1-\frac{2}{-\frac{1}{2}+1}$=-3，a₅=$1-\frac{2}{-3+1}$=2，…
即a_n+4=a_n，
∴數列{a_n}是以4為周期的函數，
又a₁•a₂•a₃•a₄=a₅•a₆•a₇•a₈=…=a₂₀₀₅•a₂₀₀₆•a₂₀₀₇•a₂₀₀₈=1，T_n為數列{a_n}的前n項之積，
∴T₂₀₁₈=（a₁•a₂•a₃•a₄）•（a₅•a₆•a₇•a₈）…（a₂₀₁₃•a₂₀₁₄•a₂₀₁₅•a₂₀₁₆）•a₂₀₁₇•a₂₀₁₈=a₁•a₂=$2×\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
故選：D．

點評 本題考查數列的遞推式的應用，突出考查數列的求和，分析得到數列{a_n}是以4為周期的函數數列，且a₁•a₂•a₃•a₄=1是關鍵，考查推理與運算能力，屬于中檔題．