Question

13．設橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過A（0，-1），焦點為F₁，F₂，橢圓E上滿足MF₁⊥MF₂的點M有且僅有兩個．
（1）求橢圓E的方程及離心率e；
（2）經過點（1，1），且斜率為k的直線與橢圓E交于不同兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為常數．

Answer 1

分析 （1）由橢圓E上滿足MF₁⊥MF₂的點M有且僅有兩個，可得點M必為短軸的兩個端點，可得b=c=1，再利用a²=b²+c²，解得a即可得出．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0．由題設知，直線PQ的方程為：y=k（x-1）+1（k≠2）．代入橢圓方程可得：（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，利用根與系數的關系與斜率計算公式即可得出．

解答 （1）解：∵橢圓E上滿足MF₁⊥MF₂的點M有且僅有兩個，∴點M必為短軸的兩個端點，
∴b=c=1，由a²=b²+c²，解得a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（2）證明：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0．由題設知，直線PQ的方程為：y=k（x-1）+1（k≠2）．
代入橢圓方程可得：（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，
由已知△＞0．
則x₁+x₂=$\frac{4k（k-1）}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2k（k-2）}{1+2{k}^{2}}$，
從而直線AP與AQ的斜率之和=k_AP+k_AQ=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}-1）+2}{{x}_{1}}$+$\frac{k（{x}_{2}-1）+2}{{x}_{2}}$=2k+（2-k）$•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+（2-k）×$\frac{4k（k-1）}{2k（k-2）}$=2k-（2k-1）=2．
即直線AP與AQ的斜率之和為常數2．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、一元二次方程的根與系數的關系、斜率計算公式、定值問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．