Question

4．已知函數$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$，x∈R
（1）寫出函數f（x）的最小正周期、對稱軸方程及單調區間；
（2）求函數f（x）在區間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最值及取最值時x的值．

Answer 1

分析 （1）根據題意，結合正弦函數的圖象性質，利用正弦函數的周期性求得f（x）的最小正周期，進而結合正弦函數的性質可得答案；
（2）根據題意，若x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，計算可得$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，結合正弦函數的圖象可得答案．

解答 解：（1）根據題意，函數$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$，
則其周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，即函數f（x）的對稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解可得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，即函數f（x）的單調遞增區間是[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解可得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，即函數f（x）的單調遞增區間是[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，
（2）根據題意，若x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，即0≤x≤$\frac{π}{2}$，
則$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
結合正弦函數的圖象，可得當2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$時，函數$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$有最大值2，
當2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$，即x=$\frac{π}{2}$時，函數$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$有最小值-$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查正弦函數的圖象與性質，關鍵是掌握三角函數的圖象變化為規律與性質以及正弦函數的圖象以及性質．