Question

15．（1）已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1焦點在x軸上，其中a=6，e=$\frac{1}{3}$，求橢圓的標準方程；
（2）已知橢圓C的長軸長為10，焦距為6，求橢圓C的標準方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：a=6，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，求得c=2，由b²=a²-c²=36-4=32，即可求得橢圓的標準方程；
（2）由題意可知：分類當焦點x在上時，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），2a=10，a=5，2c=6，c=3，則b²=a²-c²=25-9=16，同理可知：當焦點在y軸上時，$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），即可求得a和b的值，求得橢圓C的標準方程．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1焦點在x軸上，則a＞b＞0，
由a=6，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，
則c=2，
由b²=a²-c²=36-4=32，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$；  （ 6分）   
（2）由題意可知：當焦點x在上時，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
則2a=10，a=5，
2c=6，c=3，
則b²=a²-c²=25-9=16，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，
當焦點在y軸上時，$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
則2a=10，a=5，
2c=6，c=3，
則b²=a²-c²=25-9=16，
∴橢圓標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$，
綜上可知：橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$．（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓標準方程的求法，考查分類討論思想，屬于中檔題．