Question

10．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各個頂點都在體積為$\frac{32π}{3}$的球O 的球面上，其中AA₁=2，則四棱錐O-ABCD 的體積的最大值為2．

Answer 1

分析 利用體積求出R，利用長方體的對角線d=2R=4，得出a²+b²=12，${V_{O-ABCD}}=\frac{1}{3}ab•\frac{1}{2}•A{A_1}=\frac{ab}{3}≥$$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{6}$，即可得出結論．

解答 解：設球的半徑為R，則$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{32π}{3}$，∴R=2，
從而長方體的對角線d=2R=4，設AB=a，BC=b，因為AA₁=2
則a²+b²+2²=16，∴a²+b²=12
故${V_{O-ABCD}}=\frac{1}{3}ab•\frac{1}{2}•A{A_1}=\frac{ab}{3}≥$$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{6}$=2，當且僅當$a=b=\sqrt{6}$時，四棱錐O-ABCD的體積的最大值為2．
故答案為：2

點評 本題考查四棱錐O-ABCD的體積的最大值，考查球的體積的計算，屬于中檔題．