Question

20．已知f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且f（x）+g（x）=3^x．
（1）求 f（x），g（x）；
（2）若對于任意實數t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若存在m∈[-2，-1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將-x代入已知等式，利用函數f（x）、g（x）的奇偶性，得到關于f（x）與g（x）的又一個方程，將二者看做未知數解方程組，解得f（x）和g（x）；
（2）由（1）和t的范圍化簡不等式f（2t）+ag（t）＜0，分離出a后構造函數，由指數函數的單調性求出最小值，根據恒成立求出實數a的取值范圍；
（3）由（1）和m的范圍化簡不等式af（m）+g（2m）＜0，分離出a后構造函數，利用換元法法，由函數的單調性求出最小值，根據存在性問題求出實數a的取值范圍；

解答 解：（1）∵f（x）、g（x）分別是奇函數、偶函數，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
令x取-x，代入f（x）+g（x）=3^x ①，
f（-x）+g（-x）=3^-x，即-f（x）+g（x）=3^-x ②，
由①②解得，f（x）=$\frac{1}{2}（{3}^{x}-{3}^{-x}）$，g（x）=$\frac{1}{2}（{3}^{x}+{3}^{-x}）$；
（2）由（1）可得，不等式f（2t）+ag（t）＜0為：
不等式$\frac{1}{2}（{3}^{2t}-{3}^{-2t}）$+a•$\frac{1}{2}（{3}^{t}+{3}^{-t}）$＜0，
化簡得，（3^t-3^-t）+a＜0，即a＜-3^t+3^-t，
∵任意實數t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，
且函數y=-3^t+3^-t在[0，1]上遞減，∴y≥$-\frac{8}{3}$，即a＜$-\frac{8}{3}$
則實數a的取值范圍是（-∞，$-\frac{8}{3}$）；
（3）由（1）可得，不等式af（m）+g（2m）＜0為：
a•$\frac{1}{2}（{3}^{m}-{3}^{-m}）$+$\frac{1}{2}（{3}^{2m}+{3}^{-2m}）$＜0，
∵m∈[-2，-1]，∴$\frac{1}{2}（{3}^{m}-{3}^{-m}）＜0$，則化簡得，
a＞$\frac{{3}^{-2m}+{3}^{2m}}{{3}^{-m}-{3}^{m}}$=$\frac{{（3}^{-m}-{3}^{m}）^{2}+2}{{3}^{-m}-{3}^{m}}$=${3}^{-m}-{3}^{m}+\frac{2}{{3}^{-m}-{3}^{m}}$，
令t=3^-m-3^m，∵m∈[-2，-1]，∴t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]，
則a＞$t+\frac{2}{t}$，
∴存在m∈[-2，-1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立等價于：
存在t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]，使得不等式a＞$t+\frac{2}{t}$成立，
∵$t+\frac{2}{t}≥2\sqrt{t×\frac{2}{t}}$=$2\sqrt{2}$，當且僅當$t=\frac{2}{t}$，即t=$\sqrt{2}$時取等號，
∴函數y=$t+\frac{2}{t}$在[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]遞增，則函數y=$t+\frac{2}{t}$的最小值是$\frac{41}{12}$，
即a＞$\frac{41}{12}$，故實數a的取值范圍是（$\frac{41}{12}$，+∞）．

點評 本題考查了函數奇偶性的性質的應用，列方程組法求函數的解析式，以及恒成立和存在性問題的轉化，考查了構造函數法，分離常數法，換元法等，轉化思想，化簡、變形能力．