Question

10．已知函數$f（x）=4cosωxcos（ωx+\frac{π}{3}），（ω＞0）$的最小正周期為π．
（1）求ω的值；  
（2）討論f（x）在區間$[{0，\frac{5π}{6}}]$上的單調性．

Answer 1

分析 （1）將函數進行化簡，再利用周期公式求ω的值．
（2）當x在區間$[{0，\frac{5π}{6}}]$上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求單調性．

解答 解：函數$f（x）=4cosωxcos（ωx+\frac{π}{3}），（ω＞0）$．
化簡得Lf（x）=4cosωx（$\frac{1}{2}$cosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx）=2cos²ωx-$\sqrt{3}$sin2ωx=1+cos2ωx-$\sqrt{3}$sin2ωx=2cos（2ωx$+\frac{π}{3}$）+1．
（1）因為函數$f（x）=4cosωxcos（ωx+\frac{π}{3}），（ω＞0）$的最小正周期為π，即T=$\frac{2π}{2ω}=π$，
解得：ω=1，
則：f（x）=2cos（2x$+\frac{π}{3}$）+1．
故得ω的值為1，
（2）由（1）可得f（x）=2cos（2x$+\frac{π}{3}$）+1．
當x在區間$[{0，\frac{5π}{6}}]$上時，故得：$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤2π$，
當$\frac{π}{3}$$≤2x+\frac{π}{3}≤π$時，即$0≤x≤\frac{π}{3}$時，函數f（x）=2cos（2x$+\frac{π}{3}$）+1為減函數．
當π$≤2x+\frac{π}{3}≤2π$時，即$\frac{π}{3}≤x≤\frac{5π}{6}$時，函數f（x）=2cos（2x$+\frac{π}{3}$）+1為增函數．
所以，函數f（x）=2cos（2x$+\frac{π}{3}$）+1為減區間為$[0，\frac{π}{3}]$，增區間為$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．