Question

2．已知f（x）是一個定義在（0，+∞）上的函數，當x＞1時，f（x）＞0，且對于（0，+∞）上的任意兩個實數a、b，有f（a）+f（b）=f（ab）．
（1）求f（1）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析 （1）令a=b=1得f（1）=2f（1），f（1）=0．
（2）（2）設x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0可證．

解答 解：（1）令a=b=1得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．，∴f（1）=0．
（2）設x₁＞x₂＞0，則f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•{x}_{2}$）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂）
∴f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$），∵x₁＞x₂＞0，∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$⇒f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0
即f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數．

點評 本題考查了抽象函數單調性的判定及賦值法，屬于基礎題．，屬于中檔題