Question

13．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩個焦點與F1、F2，若P為其上一點，則|PF₁|=2|PF₂|，則橢圓離心離的取值范圍為[$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 由已知結合橢圓的定義求得|PF₂|=$\frac{2}{3}a$，結合橢圓上的所有點中到右焦點距離最近的點是右頂點，最遠的點是左頂點列式求得橢圓離心離的取值范圍．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2a}\\{|P{F}_{1}|=2|P{F}_{2}|}\end{array}\right.$，解得|PF₂|=$\frac{2}{3}a$，
∵a-c≤|PF₂|≤a+c，∴a-c$≤\frac{2}{3}a≤a+c$，解得$\frac{c}{a}≥\frac{1}{3}$，
又e∈（0，1），
∴橢圓離心離的取值范圍為[$\frac{1}{3}$，1）．
故答案為：[$\frac{1}{3}$，1）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查橢圓的定義的應用，明確橢圓上的所有點中到右焦點距離最近的點是右頂點，最遠的點是左頂點是解答該題的關鍵，是中檔題．