Question

3．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}$=1（常數a＞1），過點A（-a，0）且以t為斜率的直線與橢圓E交于點B，直線BO交橢圓E于點C（O坐標原點）．
（1）求以t為自變量，△ABC的面積S（t）的函數解析式；
（2）若$a=2，t∈[{\frac{1}{2}，1}]$，求S（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設直線AB的方程為：y=t（x+a），代入橢圓方程，求得（a²t²+1）y²-2aty=0，即可求得B的縱坐標，由三角形的面積公式可知：$S（t）={S_{△ABC}}=2{S_{△AOB}}=|{OA}|•{y_B}=\frac{{2{a^2}t}}{{{a^2}{t^2}+1}}（{t＞0，a＞1}）$；
（2）由（1）可知：當a=2時，$S（t）=\frac{8t}{{4{t^2}+1}}=\frac{8}{{4t+\frac{1}{t}}}$，由$t∈[{\frac{1}{2}，1}]$，根據基本不等式的性質可知$4t+\frac{1}{t}≥2\sqrt{4t•\frac{1}{t}}=4$，即可求得S（t）的最大值．

解答 解：（1）由題意可知：過點A（-a，0）且以t為斜率的直線與橢圓E交于點B，設直線AB的方程為：y=t（x+a），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=t（{x+a}）}\\{\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，整理得：（a²t²+1）y²-2aty=0，
∴y=0或$y=\frac{2at}{{{a^2}{t^2}+1}}$，則點B的縱坐標為${y_B}=\frac{2at}{{{a^2}{t^2}+1}}$，
∴$S（t）={S_{△ABC}}=2{S_{△AOB}}=|{OA}|•{y_B}=\frac{{2{a^2}t}}{{{a^2}{t^2}+1}}（{t＞0，a＞1}）$．
（2）當a=2時，$S（t）=\frac{8t}{{4{t^2}+1}}=\frac{8}{{4t+\frac{1}{t}}}$，
∵$t∈[{\frac{1}{2}，1}]$，
∴$4t+\frac{1}{t}≥2\sqrt{4t•\frac{1}{t}}=4$，
當且僅當$4t=\frac{1}{t}，t=\frac{1}{2}$時，上式等號成立，
∴$S（t）=\frac{8}{{4t+\frac{1}{t}}}≤\frac{8}{4}=2$，
即S（t）的最大值S（t）_max=2．

點評 本題考查橢圓的幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查焦點三角形的面積公式與基本不等式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．