Question

20．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一條漸近線方程是$y=\sqrt{3}x$，它與橢圓$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$有相同的焦點，則雙曲線的方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$
• B． $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{108}=1$
• C． $\frac{x^2}{108}-\frac{y^2}{36}=1$
• D． $\frac{x^2}{27}-\frac{y^2}{9}=1$

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點，即有雙曲線的c，再由a，b，c的關系和漸近線方程，得到a，b的方程，解得a，b，即可得到雙曲線方程．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$的焦點為（±6，0），
則雙曲線的c=4，即a²+b²=36，
由雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一條漸近線方程是$y=\sqrt{3}x$，則b=$\sqrt{3}$a，
解得，a=3，b=3$\sqrt{3}$．
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{27}$=1．
故選A．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質，考查漸近線方程的運用，考查運算能力，屬于基礎題．