Question

12．已知$\overrightarrow{a}$=（x，0），$\overrightarrow{b}$=（1，y），且（$\overrightarrow{a}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$）．
（1）求點P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）若直線y=kx+m（k≠0）與曲線C交于A，B兩點，D（0，-1），且|AD|=|DB|，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$（\overrightarrow{a}+\sqrt{3}\overrightarrow{b}）⊥（\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow{b}）$便可得到$（\overrightarrow{a}+\sqrt{3}\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow{b}）=0$，根據向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐標即可得出P點的軌跡方程為x²-3y²=3；
（2）可設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），并設AB的中點為M，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}-3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$消去y便可得到（1-3k²）x²-6kmx-3（m²+1）=0，從而△＞0，進而得到m²-3k²+1＞0①，然后根據韋達定理即可得出$M（\frac{3km}{1-3{k}^{2}}，\frac{m}{1-3{k}^{2}}）$．而由|AD|=|DM|即可得出DM⊥AB，從而k_DM•k_AB=-1，從而得到3k²=4m+1，代入①即可得到關于m的不等式，解出m的取值范圍即可．

解答 解：（1）根據條件，$（\overrightarrow{a}+\sqrt{3}\overrightarrow{b}）⊥（\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow{b}）$；
∴$（\overrightarrow{a}+\sqrt{3}\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}-3{\overrightarrow{b}}^{2}$=x²-3（1+y²）=0；
∴x²-3y²=3；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則AB的中點M$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）$；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}-3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$消去y得，（1-3k²）x²-6kmx-3（m²+1）=0；
則：△=36k²m²+12（1-3k²）（m²+1）＞0，即m²-3k²+1＞0；
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{6km}{1-3{k}^{2}}，{y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m$=$\frac{2m}{1-3{k}^{2}}$；
∴$M（\frac{3km}{1-3{k}^{2}}，\frac{m}{1-3{k}^{2}}）$；
∵|AD|=|DB|；
∴DM⊥AB；
∴${k}_{DM}•{k}_{AB}=\frac{\frac{m}{1-3{k}^{2}}+1}{\frac{3km}{1-3{k}^{2}}}•k=-1$，即3k²=4m+1；
∴m²-（4m+1）+1＞0，即m²-4m＞0；
解得m＜0，或m＞4；
∴實數m的取值范圍為（-∞，0）∪（4，+∞）．

點評 考查向量垂直的充要條件，向量數量積的運算，向量數量積的坐標運算，中點坐標公式，以及韋達定理，根據直線上兩點求直線的斜率的計算公式．