Question

17．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4ax+3，（x＜1）}\\{（2-3a）x+1，（x≥1）}\end{array}\right.$在R內單調遞減，則a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）
• C． （$\frac{2}{3}$，1]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 根據分段函數在在R內單調遞減，具有連續性，求出二次函數的對稱軸，對a討論，可求解．

解答 解：由題意：當x＜1時，f（x）=x²-4ax+3，對稱軸為x=2a，
要使f（x）在R內單調遞減，函數f（x）=（2-3a）x+1在x≥1必須是減函數，
故得2-3a＜0，即a＜$\frac{2}{3}$，其最大值為2-3a+1=3-3a，
當2a≥1時，即a$≥\frac{1}{2}$，則f（1）_min=1-4a+3=4-4a，
需滿足：3-3a≤4-4a，
解得：a≤1，
故而：$\frac{1}{2}≤a＜\frac{3}{2}$．
故選B．

點評 本題考查了分段函數的單調性的綜合運用能力和計算能力．屬于中檔題．