Question

2．已知函數f（x）=$\frac{2x-1}{x}$．
①判斷函數f（x）的奇偶性；
②判斷函數f（x）在區間（0，+∞）上的單調性，并證明；
③若x∈[3，5]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 ①由已知中函數的解析式，利用函數奇偶性的定義，可判斷函數f（x）的奇偶性；
②求導，根據當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，可得：函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，
③由②可得x∈[3，5]時，函數為增函數，進而求出函數的最值，可得函數的值域．

解答 解：①∵函數f（x）=$\frac{2x-1}{x}$的定義域{x|x≠0}關于原點對稱，
但f（-x）=$\frac{-2x-1}{-x}$=2+$\frac{1}{x}$，
與f（x）=$\frac{2x-1}{x}$=2-$\frac{1}{x}$，
即不恒相等，也不恒相反，
故函數f（x）為非奇非偶函數；
②函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，理由如下：
∵f（x）=$\frac{2x-1}{x}$=2-$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，
所以函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，
③由②可得x∈[3，5]時，函數為增函數，
故當x=3時，函數有最小值$\frac{5}{3}$，當x=5時，函數有最大值$\frac{9}{5}$，
故x∈[3，5]時，f（x）的值域為[$\frac{5}{3}$，$\frac{9}{5}$]

點評 本題考查的知識點是函數的單調性，函數的奇偶性，利用導數研究函數的單調性，難度中檔．