Question

12．已知曲線C₁的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{2}cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），將曲線C₁上每一點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標縮短為原來的$\frac{1}{3}$倍，得到曲線C，直線l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2+2\sqrt{3}t\\ y=1+2t\end{array}\right.$（t為參數），直線l與曲線C交于A，B兩點．
（1）寫出曲線C和直線l在直角坐標系下的普通方程；
（2）若P點的坐標為P（2，1），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用平方關系，和加減消元法，消參可得曲線C和直線l在直角坐標系下的普通方程；
（2）若P點的坐標為P（2，1），則直線l的參數方程化為標準方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數），代入橢圓方程，由韋達定理，可得答案．

解答 解：（1）由題意得曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{{\sqrt{2}}}=cosθ\;①\\ y=sinθ\;②\end{array}\right.$，①²+②²，得$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
所以曲線C的標準方程為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…..…（3分）
直線l的標準方程為：$x-\sqrt{3}y-2+\sqrt{3}=0$…..…（5分）
（2）將直線l的參數方程化為標準方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數），…（7分）
代入橢圓方程得：$5{t^2}+8（\sqrt{3}+1）t+16=0$，
所以$|{PA}|•|{PB}|=|{{t_1}{t_2}}|=\frac{16}{5}$…．…（10分）

點評 本題考查的知識點是參數方程與普通方程的互化，直線與橢圓的綜合應用，難度中檔．