Question

14．已知橢圓的中心在原點，焦點為${F_1}（-2\sqrt{3}，0），{F_2}（2\sqrt{3}，0）$，且長軸長為8．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線y=x+2與橢圓相交于A，B兩點，求弦長|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的簡單性質和標準方程求得a、b的值，即可得到橢圓的方程．
（Ⅱ）利用弦長公式求得弦長|AB|的值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓的中心在原點，焦點為${F_1}（-2\sqrt{3}，0），{F_2}（2\sqrt{3}，0）$，
且長軸長為8，∴c=2$\sqrt{3}$，a=4，∴b²=a²-c²=4，
故要求的橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（Ⅱ）把直線y=x+2代入橢圓的方程化簡可得5x²+16x=0，∴x₁+x₂=-$\frac{16}{5}$，x₁•x₂=0，
∴弦長|AB|=$\sqrt{{1+k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{（{{x}_{1}+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{（\frac{16}{5}）}^{2}-0}$=$\frac{16\sqrt{2}}{5}$．

點評 本題主要考查橢圓的性質和標準方程的應用，韋達定理及弦長公式，屬于中檔題．