Question

8．F₁，F₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點，P為橢圓上一點，如果△PF₁F₂的面積為3，tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{3}，tan∠P{F_2}{F_1}$=-3，則a=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由題意求得sin∠PF₁F₂=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，sin∠PF₂F₁=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，利用兩角和的正切公式，即可求得tan∠F₂PF₁，則求得sin∠F₂PF₁，利用正弦定理即可求得丨PF₁丨及丨PF₂丨，根據橢圓的定義即可求得a的值．

解答 解：由tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{3}$，則sin∠PF₁F₂=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，tan∠PF₂F₁=-3，則sin∠PF₂F₁=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
tan∠F₂PF₁=-tan（∠PF₁F₂+∠PF₂F₁）=-$\frac{tan∠P{F}_{1}{F}_{2}+tan∠P{F}_{2}{F}_{1}}{1-tan∠P{F}_{1}{F}_{2}•tan∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{4}{3}$
則sin∠F₂PF₁=$\frac{4}{5}$，
在△PF₁F₂中，由正弦定理可知：$\frac{丨P{F}_{2}丨}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{丨P{F}_{1}丨}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{丨{F}_{1}{F}_{2}丨}{sin∠{F}_{1}P{F}_{2}}$=2R，R為△PF₁F₂外接圓的半徑，
則丨PF₂丨=2Rsin∠PF₁F₂=2R×$\frac{\sqrt{10}}{10}$，丨PF₁丨=2Rsin∠PF₂F₁=2R×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，丨F₁F₂丨=2Rsin∠F₂PF₁=2R×$\frac{4}{5}$，
由S=$\frac{1}{2}$×丨PF₁丨×丨PF₂丨sin∠F₂PF₁=$\frac{1}{2}$×2R×$\frac{\sqrt{10}}{10}$×2R×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×$\frac{4}{5}$=3，解得：R=$\frac{5}{2}$，
則丨PF₁丨=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，丨PF₂丨=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
由橢圓的定義丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=2$\sqrt{10}$，則a=$\sqrt{10}$，
故答案為：$\sqrt{10}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單簡單幾何性質，考查正弦定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題．