Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-a-lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，xf（x）+xe^1-x＞1恒成立，求a的取值范圍．（其中，e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得出f′（x），通過對(duì)a分類討論，利用一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系即可判斷出其單調(diào)性；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$+e^1-x=ax²-lnx-$\frac{1}{x}$+e^1-x-a，可得g（1）=0，從而g′（1）≥0，解得得a≥$\frac{1}{2}$，當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，可得F′（x）在a≥$\frac{1}{2}$時(shí)恒大于0，即F（x）在x∈（1，+∞）單調(diào)遞增．由F（x）＞F（1）=2a-1≥0，可得g（x）也在x∈（1，+∞）單調(diào)遞增，進(jìn)而利用g（x）＞g（1）=0，可得g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0，綜合可得a所有可能取值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-1}{x}$，x＞0，
①當(dāng)a≤0時(shí)，2ax²-1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=$\frac{2a（x+\frac{1}{2a}）（x-\frac{1}{2a}）}{x}$，當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2a}$）時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{2a}$，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）原不等式等價(jià)于f（x）-$\frac{1}{x}$+e^1-x＞0在x∈（1．+∞）上恒成立，
一方面，令g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$+e^1-x=ax²-lnx-$\frac{1}{x}$+e^1-x-a，
只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可，
又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1處必大于等于0．
令F（x）=g′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-e^1-x，g′（1）≥0，可得a≥$\frac{1}{2}$，
另一方面，當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，F(xiàn)′（x）=2a+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$+e^1-x≥1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$+e^1-x=$\frac{{x}^{3}+x-2}{{x}^{3}}$+e^1-x，
∵x∈（1，+∞），故x³+x-2＞0，又e^1-x＞0，故F′（x）在a≥$\frac{1}{2}$時(shí)恒大于0．
∴當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，F(xiàn)（x）在x∈（1，+∞）單調(diào)遞增．
∴F（x）＞F（1）=2a-1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）單調(diào)遞增．
∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．
綜上，a≥$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．