Question

3．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤2}\\{x≥a}\end{array}\right.$，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，則a的值是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． 7
• D． 不存在

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，利用z的幾何意義，求出最優解，建立方程關系，即可得到結論．

解答 解：作出不等式組對應的平面區域如圖：
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當直線y=-2x+z經過點C時，直線的截距最小，
此時z最小，
當直線y=-2x+z經過點B時，直線的截距最大，
此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2a}\end{array}\right.$，即C（a，2a），此時z_min=2a+2a=4a，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（1，2），此時z_max=2+2=4，
∵z=2x+y的最大值是其最小值的3倍，
∴3×4a=4，即a=$\frac{1}{3}$，
故選：A．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合結合目標函數的幾何意義求出最優解是解決本題的關鍵．