Question

15．在公差不為0的等差數列{a_n}中，a₁+a₅=a_p+a_q，記$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$的最小值為m，若數列{b_n}滿足b_n＞0，b₁=$\frac{2}{11}$m，b_n+1是1與$\frac{2{b}_{n}{b}_{n+1}+1}{4-{{b}_{n}}^{2}}$的等比中項，若b_n$≥\frac{s}{2}$對任意n∈N^*恒成立，則s的取值范圍是（-∞，1]．

Answer 1

分析 根據題意，求出$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$的最小值為m，從而求出b₁與通項公式b_n．

解答 解：在等差數列{a_n}中，由a₁+a₅=a_p+a_q得，p+q=6，
因為記$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$=$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$）（p+q）=$\frac{1}{6}$（1+9+$\frac{q}{p}$+$\frac{9p}{q}$）=$\frac{5}{3}$+$\frac{1}{6}$（$\frac{q}{p}$+$\frac{9p}{q}$）≥$\frac{5}{3}$+$\frac{1}{6}$•2$\sqrt{\frac{q}{p}•\frac{9p}{q}}$=$\frac{8}{3}$，
當且僅當q=3p時取得最小值，此時p=$\frac{3}{2}$，q=$\frac{9}{2}$（不合題意，舍去）；
應取p=2，q=4，此時$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$取得最小值是$\frac{11}{4}$，
所以m=$\frac{11}{4}$，b₁=$\frac{1}{2}$；
又由b_n+1是1與$\frac{2{b}_{n}{b}_{n+1}+1}{4-{{b}_{n}}^{2}}$的等比中項得到：b_n+1²=$\frac{2{b}_{n}{b}_{n+1}+1}{4-{{b}_{n}}^{2}}$，
整理，得
（2b_n+1-b_nb_n+1-1）（2b_n+1+b_nb_n+1+1）=0．
因為數列{b_n}滿足b_n＞0，
∴2b_n+1-b_nb_n+1-1=0，即2b_n+1-b_nb_n+1=1，
∴b_n+1=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$，
∵b₁=$\frac{1}{2}$，
∴b₂=$\frac{1}{2-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
b₃=$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
…
由此可以歸納出：b_n=$\frac{n}{n+1}$．
∵b_n$≥\frac{s}{2}$，$\frac{n}{n+1}$≥$\frac{s}{2}$，$\frac{n}{n+1}$≥$\frac{1}{2}$，
∴s≤1．
故答案是：（-∞，1]．

點評 本題考查了等差數列與數列求和的應用問題，也考查了邏輯推理與運算能力，是綜合性題目．