Question

5．在銳角△ABC中，a=2bsinA，則cosA+sinC的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化簡，根據sinA不為0求出sinB的值，確定出B的度數，進而表示出A+C的度數，用A表示出C，代入所求式子利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由A的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的值域確定出范圍即可．

解答 解：已知等式a=2bsinA利用正弦定理化簡得：sinA=2sinBsinA，
∵sinA≠0，
∴sinB=$\frac{1}{2}$，
∵B為銳角，
∴B=30°，即A+C=150°，
∴cosA+sinC=cosA+sin（150°-A）
=cosA+$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA
=$\frac{3}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA
=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）
=$\sqrt{3}$sin（A+60°），
∵60°＜A＜90°，
∴120°＜A+60°＜150°，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+60°）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\sqrt{3}$sin（A+60°）＜$\frac{3}{2}$，
則cosA+sinC的取值范圍是：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 此題考查了正弦定理，以及兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵，屬于中檔題．