Question

15．2013年4月初眉山市“體彩杯”中小學生田徑運動會圓滿落幕，市文體局舉行表彰大會．某校有男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1人，從中選5人參加表彰會，下列情形各有多少種選派方法（結果用數字作答）．
（1）男3名，女2名                 
（2）隊長至少有1人參加
（3）至少1名女運動員              
（4）既要有隊長，又要有女運動員．

Answer 1

分析 （1）男3人，女2人的選法有C₆³C₄²種．
（2）把隊長只有有1人參加的選法種數，加上2個隊長都參加的選法種數，即得所求．
（3）求出所有的選法有C₁₀⁵（種），減去沒有女運動員的選法種數C₆⁵，即得所求．
（4）求出所有的選法有C₁₀⁵（種），求出沒有隊長的選法有C₈⁵（種），再求出有男隊長但沒有女運動員的選法有C₅⁴（種），計算C₁₀⁵-C₈⁵-C₅⁴的結果，即為所求．

解答 解：（1）從10名運動員中選5人參加比賽，其中男3人，女2人的選法有C₆³C₄²=120 （種）．
（2）從10名運動員中選5人參加比賽，其中隊長至少有1人參加的選法有C₂¹ C₈⁴+C₂²C₈³=2×70+56=196（種）．
（3）從10名運動員中選5人參加比賽，所有的選法有C₁₀⁵（種），沒有女運動員的選法有C₆⁵（種），
故其中至少有1名女運動員參加的選法有C₁₀⁵-C₆⁵=2462 （種）．
（4）從10名運動員中選5人參加比賽，所有的選法有C₁₀⁵（種），沒有隊長的選法有C₈⁵（種），有男隊長但沒有女運動員的選法有C₅⁴（種），
故既要有隊長又要有女運動員的選法有C₁₀⁵-C₈⁵-C₅⁴=191（種）．

點評 本題主要考查排列組合的實際應用，體現了分類討論的數學思想，是一個中檔題目．