Question

6．（1）已知a，b是正實數，求證：$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}+\sqrt{b}$．
（2）已知：A，B都是銳角，且A+B≠90°，（1+tanA）（1+tanB）=2，求證：A+B=45°．

Answer 1

分析 （1）去分母，因式分解，得出使不等式成立的充分條件即可；
（2）化簡式子，利用和角的正切公式得出結論．

解答 證明：（1）要證：$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}+\sqrt{b}$．
只需證：a$\sqrt{a}$+b$\sqrt{b}$≥（$\sqrt{a}+\sqrt{b}$）$\sqrt{a}$$\sqrt{b}$，
即證：a$\sqrt{a}$+b$\sqrt{b}$≥a$\sqrt{b}$+b$\sqrt{a}$，
只需證：a（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）+b（$\sqrt{b}$-$\sqrt{a}$）≥0，
即證：（a-b）（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）≥0，
即證：（$\sqrt{a}$$-\sqrt{b}$）²（$\sqrt{a}+\sqrt{b}$）≥0，
顯然上式恒成立，
故$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}+\sqrt{b}$．
（2）∵（1+tanA）（1+tanB）=2，
即1+tanA+tanB+tanAtanB=2，
∴tanA+tanB=1-tanAtanB，
∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=1，
又A，B都是銳角，A+B≠90°，
∴A+B=45°．

點評 本題考查了證明方法，屬于中檔題．