Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB=2AD=4，$BD=2\sqrt{3}$，PD⊥底面ABCD．
（1）證明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）若二面角P-BC-D的大小為$\frac{π}{6}$，求AP與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出BC⊥BD，PD⊥BC，從而BC⊥平面PBD，由此能證明平面PBC⊥平面PBD．
（2）由BC⊥平面PBD，得∠PBD即為二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=$\frac{π}{6}$，從而BD=2$\sqrt{3}$，PD=2，分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AP與平面PBC所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，
AB=2AD=4，$BD=2\sqrt{3}$，PD⊥底面ABCD．
∴CD²=BC²+BD²，∴BC⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．
解：（2）由（1）所證，BC⊥平面PBD，
∴∠PBD即為二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=$\frac{π}{6}$，
∵BD=2$\sqrt{3}$，∴PD=2，∵底面ABCD為平行四邊形，
∴DA⊥DB，
分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．
則A（2，0，0），B（0，2$\sqrt{3}$，0），C（-2，2$\sqrt{3}$，0），P（0，0，2），
∴$\overrightarrow{AP}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，-2$\sqrt{3}$，2），
設平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2a=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-2\sqrt{3}b+2c=0}\end{array}\right.$，令b=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
∴AP與平面PBC所成角的正弦值為sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{n}|}$₌$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}•2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．