Question

18．已知函數f（x）=|2x+3|+|2x-1|
（1）求不等式f（x）≤5的解集；
（2）若關于x的不等式f（x）＜|m-2|的解集非空，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；
（2）求出f（x）的最小值，得到關于m的不等式，解出即可．

解答 解．（1）原不等式為：|2x+3|+|2x-1|≤5，
當$x≤-\frac{3}{2}$時，原不等式可轉化為-4x-2≤5，即$-\frac{7}{4}≤x≤-\frac{3}{2}$；
當$-\frac{3}{2}＜x＜\frac{1}{2}$時，原不等式可轉化為4≤5恒成立，所以$-\frac{3}{2}＜x＜\frac{1}{2}$；
當$x≥\frac{1}{2}$時，原不等式可轉化為4x+2≤5，即$\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{4}$．
所以原不等式的解集為$\left\{{x|-\frac{7}{4}≤x≤\frac{3}{4}}\right\}$．…（5分）
（2）由已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-4x-2，x≤-\frac{3}{2}\\ 4，-\frac{3}{2}＜x＜\frac{1}{2}\\ 4x+2，x≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
可得函數y=f（x）的最小值為4．…（8分）
所以|m-2|＞4，解得m＞6或m＜-2…（10分）

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．