Question

13．如圖，AA₁，BB₁為圓柱OO₁的母線，BC是底面圓O的直徑，D，E分別是AA₁，CB₁的中點，BA=$\sqrt{7}，AC=3，{B_1}C=4\sqrt{2}$
（1）證明：DE∥平面ABC；
（2）求圓柱OO₁的體積和表面積．

Answer 1

分析 （1）連結OE，OA，證明四邊形OADE是平行四邊形得出DE∥OA，故而DE∥平面ABC；
（2）利用勾股定理求出圓柱的底面半徑和母線長，代入公式計算即可．

解答 （1）證明：連結OE，OA，
則OE∥BB₁，OE=$\frac{1}{2}$BB₁，
又AD∥BB₁，AD=$\frac{1}{2}$BB₁，
∴四邊形ADEO是平行四邊形，
∴DE∥OA，又OA?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
（2）解：∵BC是圓O的直徑，
∴AB⊥AC，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=4，
∴BB₁=$\sqrt{{B}_{1}{C}^{2}-B{C}^{2}}$=4，
∴圓柱的表面積S_表=2π×2×4+2π×2²=24π，
圓柱的體積V=π×2²×4=16π．

點評 本題考查了圓柱的結構特征，線面平行的判定，體積與表面積計算，屬于基礎題．