Question

8．在平面直角坐標系xOy和極坐標系中，極點與原點重合，極軸與x軸非負半軸重合，直線l過點（1，1），傾斜角α的正切值為-$\frac{3}{4}$，曲線C的極坐標方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）．
（1）寫出直線l的參數方程，并將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）判斷直線l與曲線C的位置關系，若直線l與曲線C相交，求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）tan α=-$\frac{3}{4}$＜0，0＜α＜π，從而sin α=-$\frac{3}{4}$cos α，進而cos α=-$\frac{4}{5}$，sin α=$\frac{3}{5}$，由此能求出直線l的參數方程；由ρ=4$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），得ρ²=4ρsin θ+4ρcos θ，由ρ²=x²+y²，ρcos θ=x，ρsin θ=y，能求出曲線C的直角坐標方程．
（2）由點（1，1）在圓x²+y²-4x-4y=0內部，知直線l與曲線C相交．設直線l與曲線C的交點M，N對應的參數分別為t₁，t₂，將$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{4}{5}t\\ y=1+\frac{3}{5}t\end{array}$（t為參數）代入x²+y²-4x-4y=0，整理得t²+$\frac{2}{5}$t-6=0，由此能求出直線l被曲線C截得的弦長．

解答 解：（1）由題知tan α=-$\frac{3}{4}$＜0，0＜α＜π，∴$\frac{π}{2}$＜α＜π，sin α=-$\frac{3}{4}$cos α，
代入sin²α+cos²α=1，得$\frac{9}{16}co{s}^{2}α$+cos²α=1，
解得cos α=-$\frac{4}{5}$，∴sin α=$\frac{3}{5}$，∴直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{4}{5}t\\ y=1+\frac{3}{5}t\end{array}$（t為參數）．（3分）
由ρ=4$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），得ρ=4sin θ+4cos θ，
即ρ²=4ρsin θ+4ρcos θ，
由ρ²=x²+y²，ρcos θ=x，ρsin θ=y，得x²+y²-4x-4y=0，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²-4x-4y=0．（5分）
（2）∵1²+1²-4×1-4×1=-6＜0，∴點（1，1）在圓x²+y²-4x-4y=0內部，
∴直線l與曲線C相交．（7分）
設直線l與曲線C的交點M，N對應的參數分別為t₁，t₂，
將$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{4}{5}t\\ y=1+\frac{3}{5}t\end{array}$（t為參數）代入x²+y²-4x-4y=0，整理得t²+$\frac{2}{5}$t-6=0，
∴t₁+t₂=-$\frac{2}{5}$，t₁t₂=-6，
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{2}{5}）^{2}-4×（-6）}$=$\frac{2\sqrt{151}}{5}$，
∴直線l被曲線C截得的弦長為$\frac{2\sqrt{151}}{5}$．（10分）

點評 本題考查直線參數方程的求法，考查曲線的直角坐標方程的求法，考查弦長的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．