Question

12．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側棱AA₁的長為5．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）設M是BC中點，求直線A₁M與平面ABC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=S_△ABC×AA₁=$\frac{1}{2}×AB×AC×A{A}_{1}$，由此能求出結果．
（2）連結AM，∠A₁MA是直線A₁M與平面ABC所成角，由此能求出直線A₁M與平面ABC所成角的大小．

解答 解：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為直角三角形，
兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側棱AA₁的長為5．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積：
V=S_△ABC×AA₁
=$\frac{1}{2}×AB×AC×A{A}_{1}$
=$\frac{1}{2}×4×2×5$=20．
（2）連結AM，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為直角三角形，
兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側棱AA₁的長為5，M是BC中點，
∴AA₁⊥底面ABC，AM=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{16+4}$=$\sqrt{5}$，
∴∠A₁MA是直線A₁M與平面ABC所成角，
tan∠A₁MA=$\frac{A{A}_{1}}{AM}$=$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
∴直線A₁M與平面ABC所成角的大小為arctan$\sqrt{5}$．

點評 本題考查三棱柱的體積的求法，考查線面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．