Question

20．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜π），在同一周期內，當x=$\frac{π}{12}$時，f（x）取得最大值3；當x=$\frac{7}{12}$π時，f（x）取得最小值-3．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]時，方程2f（x）+1-m=0有兩個根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數的解析式．
（2）sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{m-1}{6}$在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上有兩個根，再利用正弦函數的圖象求得m的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜π），在同一周期內，當x=$\frac{π}{12}$時，f（x）取得最大值3；
當x=$\frac{7π}{12}$π時，f（x）取得最小值-3．∴A=3，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$，∴ω=2．
又∵函數在同一周期內，當x=$\frac{π}{12}$時，f（x）取得最大值3．
∴2×$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z）解得 φ=2kπ+$\frac{π}{3}$，（k∈Z），
又∵|φ|＜π，∴φ=$\frac{π}{3}$，∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵在x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]時，∴2f（x）+1-m=0有兩個根，∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{m-1}{6}$在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上有兩個根，
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤$\frac{m-1}{6}$＜1，
∴結合函數圖象，有2f（x）+1在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上能取兩根的范圍是[3$\sqrt{3}$+1，7），
∴m∈[3$\sqrt{3}$+1，7）．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值；還考查了方程根的存在性以及個數判斷，屬于中檔題．