Question

15．在正四面體P-ABC中，點M是棱PC的中點，點N是線段AB上一動點，且$\overrightarrow{AN}=λ\overrightarrow{AB}$，設異面直線 NM 與 AC 所成角為α，當$\frac{1}{3}≤λ≤\frac{2}{3}$時，則cosα的取值范圍是[$\frac{5\sqrt{19}}{38}$，$\frac{7\sqrt{19}}{38}$]．

Answer 1

分析 設P到平面ABC的射影為點O，取BC中點D，以O為原點，在平面ABC中，以過O作DB的平行線為x軸，以OD為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出cosα的取值范圍．

解答 解：設P到平面ABC的射影為點O，取BC中點D，
以O為原點，在平面ABC中，以過O作DB的平行線為x軸，
以OD為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，
設正四面體P-ABC的棱長為4$\sqrt{3}$，
則A（0，-4，0），B（2$\sqrt{3}$，2，0），C（-2$\sqrt{3}$，2，2$\sqrt{2}$），P（0，0，4$\sqrt{2}$），M（-$\sqrt{3}$，1，2$\sqrt{2}$），
由$\overrightarrow{AN}=λ\overrightarrow{AB}$，得N（$2\sqrt{3}λ，6λ-4，0$），
∴$\overrightarrow{NM}$=（-$\sqrt{3}-2\sqrt{3}λ$，5-6λ，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（-2$\sqrt{3}$，6，0），
∵異面直線 NM 與 AC 所成角為α，$\frac{1}{3}≤λ≤\frac{2}{3}$，
∴cosα=$\frac{|\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{NM}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3-2λ}{2\sqrt{4{λ}^{2}-4λ+3}}$，設3-2λ=t，則$\frac{5}{3}≤t≤\frac{7}{3}$，
∴cosα=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{t}^{2}-4t+6}}$=$\frac{1}{2\sqrt{6（\frac{1}{t}）^{2}-4•\frac{1}{t}+1}}$，
∵$\frac{1}{3}＜\frac{3}{7}≤\frac{1}{t}≤\frac{3}{5}$，
∴$\frac{5\sqrt{19}}{38}≤cosα≤\frac{7\sqrt{19}}{38}$．
∴cosα的取值范圍是[$\frac{5\sqrt{19}}{38}$，$\frac{7\sqrt{19}}{38}$]．
故答案為：[$\frac{5\sqrt{19}}{38}$，$\frac{7\sqrt{19}}{38}$]．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．