Question

10．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，D為△ABC所在平面內一點，且滿足$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$．
（1）求|$\overrightarrow{AD}$|；
（2）cos∠BDC．

Answer 1

分析 （1）運用向量的平方即為模的平方，結合已知條件，計算即可得到所求值；
（2）運用向量的加減運算和向量的模，分別求得$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$，|$\overrightarrow{DB}$|，|$\overrightarrow{DC}$|，再由cos∠BDC=$\frac{\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{DB}|•|\overrightarrow{DC}|}$，代入計算即可得到所求值．

解答 解：（1）AB=2，AC=3，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，
由$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$，
可得|$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$|
=$\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^{2}+4{\overrightarrow{AC}}^{2}+4\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}$
=$\sqrt{4+4×9+4×4}$=2$\sqrt{14}$；
（2）$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$=-2$\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$=-$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=2$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$²=2×4+2×9=26，
|$\overrightarrow{DB}$|=2×3=6，
|$\overrightarrow{DC}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}$
=$\sqrt{4+9+2×4}$=$\sqrt{21}$，
即有cos∠BDC=$\frac{\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{DB}|•|\overrightarrow{DC}|}$=$\frac{26}{6×\sqrt{21}}$=$\frac{13\sqrt{21}}{63}$．

點評 本題考查向量的數量積的運算，以及向量的平方即為模的平方，向量的夾角公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．