Question

16．已知曲線C的極坐標方程為 ρ=2cosθ，直線l的極坐標方程為 ρ sin（θ+$\frac{π}{6}$）=m．
（I）求曲線C與直線l的直角坐標方程；
（II）若直線l與曲線C有且只有一個公共點，求實數m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C的極坐標方程轉化為ρ²=2ρcosθ，由此能求出曲線C的直角坐標方程，直線l的極坐標方程轉化為$\frac{1}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ=m，由此能求出直線l的直角坐標方程．
（Ⅱ）由直線l與曲線C有且只有一個公共點，利用圓心到直線的距離等于半徑，能求出實數m的值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標方程為 ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，
化為直角坐標方程為x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1．
直線l的極坐標方程是 ρ sin（θ+$\frac{π}{6}$）=m，即$\frac{1}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ=m，
化為直角坐標方程為x+$\sqrt{3}$y-2m=0．
（Ⅱ）∵直線l與曲線C有且只有一個公共點，
∴圓心（1，0）到直線l的距離等于圓半徑r=1，
∴$\frac{|1-2m|}{2}$=1，解得m=-$\frac{1}{2}$或m=$\frac{3}{2}$．
∴所求實數m的值為-$\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$．

點評 本題考查直線的極坐標方程的求法，考查曲線的普通方程的求法，考查弦長的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．