Question

1．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數）．在極坐標系（與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸）中，直線l的方程為$\sqrt{2}ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）=3$．
（1）求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標方程；
（2）設P是曲線C上的任意一點，求點P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數方程消去參數θ，能求出曲線C的普通方程；直線l的極坐標方程轉化為ρsinθ-ρcosθ=3，由此能求出直線l的直角坐標方程．
（2）設$P（{\sqrt{3}cosθ，sinθ}）$，利用點到直線的距離公式求出點P到直線l的距離，由此能求出點P到直線l的距離的最大值．

解答 解：（1）因為曲線C的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數）．
所以${（{\frac{x}{{\sqrt{3}}}}）^2}+{y^2}={cos^2}θ+{sin^2}θ=1$，
所以曲線C的普通方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
因為直線l的方程為$\sqrt{2}ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）=3$．
展開得ρsinθ-ρcosθ=3，即y-x=3，
所以直線l的直角坐標方程為x-y+3=0；
（2）設$P（{\sqrt{3}cosθ，sinθ}）$，
則點P到直線l的距離為$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosθ-sinθ+3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2sin（{θ-\frac{π}{3}}）-3}|}}{{\sqrt{2}}}≤\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$
等號成立當且僅當$sin（{θ-\frac{π}{3}}）=-1$，
即$θ=2kπ+\frac{11π}{6}（{k∈Z}）$，即$P（{\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}）$時成立，
因此點P到直線l的距離的最大值為$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查曲線的普通坐標方程、直線的直角坐標方程的求法，考查點到直線的距離的最大值的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．