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4.正方體ABCD-A1B1C1D1
(Ⅰ)求證:B1D⊥平面A1B1C1
(Ⅱ)求直線BB1與平面A1BC1所成角正弦值.

分析 (I)連結B1D1,通過證明A1C1⊥平面DD1B1得出A1C1⊥B1D,同理可得B1D⊥A1B,故而B1D⊥平面A1B1C1
(II)設正方體棱長為1,利用V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}B{C}_{1}}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$得出B1到平面A1BC1的距離為h,從而得出所求線面角的正弦值.

解答 (I)證明:連結B1D1
∵DD1⊥平面A1B1C1D1,A1C1?平面A1B1C1D1
∴DD1⊥A1C1
∵四邊形A1B1C1D1是正方形,
∴A1C1⊥B1D1
又DD1∩B1D1=D1
∴A1C1⊥平面DD1B1
又B1D?平面DD1B1
∴A1C1⊥B1D,
同理可證:B1D⊥A1B,
又A1C1?平面A1BC1,A1B?平面A1BC1
∴B1D⊥平面A1BC1
(II)解:設正方體棱長為1,則△A1BC1是邊長為$\sqrt{2}$的等邊三角形,
設B1到平面A1BC1的距離為h,
則V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}B{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}B{C}_{1}}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×h$=$\frac{\sqrt{3}h}{6}$,
又V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}B{C}_{1}}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$,
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴直線BB1與平面A1BC1所成角正弦值為$\frac{h}{B{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

點評 本題考查了線面垂直的判定,線面角的計算,屬于中檔題.

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