Question

6．在平面直角坐標系中，已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=m+t\\ y=t\end{array}\right.$（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，點F的極坐標為（2$\sqrt{2}$，π），且F在直線l上．
（Ⅰ）若直線l與曲線C交于A、B兩點，求|FA|•|FB|的值；
（Ⅱ）求曲線C內接矩形周長的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）點F的直角坐標為（-2$\sqrt{2}$，0），求出m=-2$\sqrt{2}$，曲線C的直角坐標方程為x²+3y²=12，將直線l的標準參數方程代入曲線C的直角坐標方程中，得t′²-2t′-2=0，由此能求出|FA|•|FB|．
（Ⅱ）設橢圓C的內接矩形在第一象限的頂點為（2$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），由對稱性可得橢圓C的內接矩形的周長為8$\sqrt{3}$cosθ+8sinθ=16sin（θ+$\frac{π}{3}$），由此能求出橢圓C的內接矩形的周長的最大值．

解答 （本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）∵點F的極坐標為（2$\sqrt{2}$，π），
∴點F的直角坐標為（-2$\sqrt{2}$，0），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{2}=m+t\\ 0=t\end{array}\right.$，解得m=-2$\sqrt{2}$，
∵曲線C的極坐標方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，
∴直角坐標方程為x²+3y²=12．…（3分）
將直線l的標準參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=-2\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t'\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t'\end{array}\right.$（t′為參數）代入曲線C的直角坐標方程中，
得t′²-2t′-2=0，∴t′_A•t′_B=-2
∴|FA|•|FB|=2．…（5分）
（Ⅱ）設橢圓C的內接矩形在第一象限的頂點為（2$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），
由對稱性可得橢圓C的內接矩形的周長為8$\sqrt{3}$cosθ+8sinθ=16sin（θ+$\frac{π}{3}$），…（8分）
∴當θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{6}$時，橢圓C的內接矩形的周長取得最大值16．…（10分）

點評 本題考查兩線段乘積的求法，考查橢圓的內接知識的周長的最大值的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．