Question

15．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂，過右焦點F₂的直線交雙曲線右支于A、B兩點，連結AF₁、BF₁，若|AB|=|BF₁|且$∠AB{F_1}={90^o}$，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $5-2\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5-2\sqrt{2}}$
• C． $6-3\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{6-3\sqrt{2}}$

Answer 1

分析 運用雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a，結合等腰直角三角形可得|AF₁|=4a，設|BF₁|=x，運用勾股定理，可得a，c的關系，由離心率公式即可得到所求．

解答 解：由雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a，
相加可得|AF₁|+|BF₁|-|AB|=4a，
|AB|=|BF₁|且$∠AB{F_1}={90^o}$，
∴|AF₁|=4a，設|BF₁|=x，
則$x=\frac{4a}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}a$，$|{B{F_2}}|=2\sqrt{2}a-2a$，
又∵${|{B{F_1}}|^2}+{|{B{F_2}}|^2}=4{c^2}$，
即有8a²+（2$\sqrt{2}$a-2a）²=4c²，
化簡可得（5-2$\sqrt{2}$）a²=c²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查勾股定理和離心率的求法，注意運用方程思想和轉化思想，考查運算能力，屬于中檔題．