Question

11．使命題p：?x₀∈R₊，x₀ln x₀+x₀²-ax₀+2＜0成立為假命題的一個充分不必要條件為（　　）

• A． a∈（0，3）
• B． a∈（-∞，3]
• C． a∈（3，+∞）
• D． a∈[3，+∞）

Answer 1

分析 命題p：?x₀∈R₊，x₀ln x₀+x₀²-ax₀+2＜0成立為假命題，可得?x∈R，xlnx+x²-ax+2≥0為真命題．化為a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$=f（x），x＞0．利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．

解答 解：命題p：?x₀∈R₊，x₀ln x₀+x₀²-ax₀+2＜0成立為假命題，
則?x∈R₊，xlnx+x²-ax+2≥0為真命題．
∴a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$=f（x），x＞0．
則f′（x）=$\frac{1}{x}$+1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，
可得x=1時，函數f（x）取得極小值即最小值．f（1）=3．
∴a≤3．
因此使命題p：?x₀∈R₊，x₀ln x₀+x₀²-ax₀+2＜0成立為假命題的一個充分不必要條件為a∈（0，3）．
故選：A．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．