Question

8．求經過點A（0，-1），與直線x+y-1=0相切，且圓心在直線y=-2x上的圓的標準方程．

Answer 1

分析 根據圓心在直線y=-2x上，設出圓心坐標和半徑，寫出圓的標準方程，把點A的坐標代入圓的方程得到一個關系式，由點到直線的距離公式表示圓心到直線x+y=1的距離，讓距離等于圓的半徑列出另一個關系式，兩者聯(lián)立即可求出圓心坐標和半徑，把圓心坐標和半徑代入即可寫出圓的標準方程．

解答 解：因為圓心在直線y=-2x上，設圓心坐標為（a，-2a）（1分）
設圓的方程為（x-a）²+（y+2a）²=r²（2分）
圓經過點A（0，-1）和直線x+y=1相切，
所以有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+（2a-1）^{2}={r}^{2}}\\{\frac{|a-2a-1|}{\sqrt{2}}=r}\end{array}\right.$（8分）
解得r=$\sqrt{2}$，a=1或r=$\frac{5\sqrt{2}}{9}$，a=$\frac{1}{9}$（12分）
所以圓的方程為（x-1）²+（y+2）²=2或（x-$\frac{1}{9}$）²+（y+$\frac{2}{9}$）²=$\frac{50}{81}$．（14分）

點評 此題考查學生靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，掌握直線與圓相切時滿足的條件，會利用待定系數法求圓的標準方程，是一道中檔題．