Question

19．已知橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1，P（1，1）為橢圓內一點，F₁為橢圓的左焦點，M為橢圓上一動點：
（理）則|MP|+$\frac{3}{2}$|MF₁|的最小值為$\frac{11}{2}$；
（文）則|MP|+|MF₁|的取值范圍為（6-$\sqrt{2}$，6+$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 （理）由橢圓的第二定義，得d=$\frac{|MF|}{e}$，從而|MP|+$\frac{3}{2}$|MF₁|=|MA|+|MP|，當M、P、A三點共線時，|MP|+$\frac{3}{2}$|MF₁|取最小值，由此能求出結果．
（文）由橢圓定義得|PF₁|=2a-|PF₂|=6-|PF₂|，由||PA|-|PF₂||≤|AF₂|，由此能求出||MP|+|MF₁|的取值范圍．

解答 解：（理）由橢圓的第二定義，得：$\frac{|MF|}p9vv5xb5$=e，
∴d=$\frac{|MF|}{e}$，
由橢圓的方程$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1，得e=$\frac{2}{3}$，
右準線方程為：x=$\frac{9}{2}$，
|MP|+$\frac{3}{2}$|MF₁|=|MA|+|MP|，
∴當M、P、A三點共線時，
|MP|+$\frac{3}{2}$|MF₁|取最小值，最小值為：1+$\frac{9}{2}$=$\frac{11}{2}$．
故答案為：$\frac{11}{2}$．
（文）∵橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1，
∴a=3，b=$\sqrt{5}$，c=2，F₁（-2，0），F₂（2，0），
由橢圓定義得|PF₁|=2a-|PF₂|=6-|PF₂|，
由||PA|-|PF₂||≤|AF₂|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
知$\sqrt{2}≤|PA|-|P{F}_{2}|≤\sqrt{2}|$，
∴||MP|+|MF₁|的取值范圍為$（6-\sqrt{2}，6+\sqrt{2}）$．
故答案為：（6-$\sqrt{2}$，6+$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查線段和的最小值的求法，考查線段長的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．