Question

9．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=$\frac{3}{2}，2{S}_{n}=（n+1）{a}_{n}$+1（n≥2）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}+1）^{2}}（n∈{N}^{+}）$，數列{b_n}的前n項和為T_n，證明：T_n＜$\frac{33}{50}（n∈{N}^{+}）$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數列遞推式可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$，然后利用累積法求得數列通項公式；
（Ⅱ）把數列{a_n}的通項公式代入b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}+1）^{2}}（n∈{N}^{+}）$，然后利用裂項相消法求和，放縮得答案．

解答 （Ⅰ）解：當n=2時，2S₂=3a₂+1，解得a₂=2，
當n=3時，2S₃=4a₃+1，解得a₃=3．
當n≥3時，2S_n=（n+1）a_n+1，2S_n-1=na_n-1+1，
以上兩式相減，得2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$，
∴${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}…\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•{a}_{2}$=$\frac{n}{n-1}•\frac{n-1}{n-2}…\frac{3}{2}×2=n$，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{n，n≥2}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）證明：b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}+1）^{2}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{25}，n=1}\\{\frac{1}{（n+1）^{2}}，n≥2}\end{array}\right.$，
當n=1時，${T}_{1}={b}_{1}=\frac{4}{25}＜\frac{33}{50}$，
當n≥2時，${b}_{n}=\frac{1}{（n+1）^{2}}＜\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T}_{n}=\frac{4}{25}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=\frac{33}{50}-\frac{1}{n+1}＜\frac{33}{50}$．
∴T_n＜$\frac{33}{50}（n∈{N}^{+}）$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了裂項相消法求數列的前n項和，是中檔題．