Question

1．定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足下面三個條件：
①對任意正數a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）；
②當x＞1時，f（x）＜0；
③f（2）=-1．
（Ⅰ）求f（1）的值域；
（Ⅱ）試用單調性定義證明：函數f（x）在（0，+∞）上是減函數；
（Ⅲ）求滿足f（3x-1）＞2的x的取值集合．

Answer 1

分析 （I）令a=b=1即可得出關于f（1）的方程，求出f（1）；
（II）設0＜x₁＜x₂，則由函數性質①可得出f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），由函數性質②得出f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，故而有f（x₂）＜f（x₁）；
（III）根據函數性質可得f（$\frac{1}{4}$）=2，利用函數的單調性和定義域列出不等式組解出x．

解答 解：（Ⅰ）令a=b=1得f（1）+f（1）=f（1），∴f（1）=0．
（Ⅱ）設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
∵$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數
（Ⅲ）∵f（2）=-1，∴f（4）=2f（2）=-2，
又f（4）+f（$\frac{1}{4}$）=f（1）=0，
∴f（$\frac{1}{4}$）=-f（4）=2，
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x-1＜\frac{1}{4}}\\{3x-1＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}＜x＜\frac{5}{12}$．
故不等式的解集為{x|$\frac{1}{3}＜x＜\frac{5}{12}$}．

點評 本題考查了抽象函數的性質，單調性的判斷與應用，屬于中檔題．