Question

11．已知定義域為R的函數f（x）=$\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在R上的奇函數，f（0）=0求參數；（2）不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，轉化為k＜（3t²-2t）min求解．

解答 解：（1）因為f（x）是定義在R上的奇函數，
所以f（0）=0，
所以f（0）=$\frac{-1+b}{2+a}$=0，所以b=1，
因為f（x）=$\frac{-2x+1}{2x+1+a}$，
所以f（-x）=$\frac{-2-x+1}{2-x+1+a}$=$\frac{2x-1}{2+a•2x}$．
因為f（-x）=-f（x），
所以$\frac{2x-1}{2+a•2x}$=$\frac{2x-1}{2x+1+a}$，
所以（2-a）（1-2^x）=0，
所以a=2，
所以f（x）=$\frac{-2x+1}{2x+1+2}$．
（2）因為f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
所以f（t²-2t）＜-f（2t²-k）恒成立，
因為f（x）為R上的奇函數，
所以f（t²-2t）＜f（-2t²+k）恒成立，
因為函數f（x）在R上單調遞減，
所以t²-2t＞-2t²+k恒成立，所以k＜3t²-2t恒成立，
又因為g（t）=3t²-2t在R上最小值為$\frac{-4}{4×3}=-\frac{1}{3}$
k＜-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了奇函數的性質，不等式恒成立問題的轉化，屬于中檔題．