Question

10．已知F為拋物線y²=2x的焦點，點A、B在拋物線上且位于x軸的兩側，$\widehat{OA}$•$\widehat{OB}$=3（其中O為坐標原點），則△ABO與△AFO面積之和的最小值是3$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 設出A，B的坐標，根據數量積列出方程得出A，B坐標的關系，求出直線AB與x軸的交點坐標，得出△ABO與△AFO面積之和關于y₁的函數，利用基本不等式得出面積和的最小值．

解答 解：設A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$，y₂），
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{4}$+y₁y₂=3，
∴y₁y₂=-6或y₁y₂=2（舍）．
∴y₂=$\frac{-6}{{y}_{1}}$．
直線AB的方程為$\frac{y-{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}=\frac{x-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}}$，
令y=0得$\frac{-{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$=$\frac{x-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}}$，解得x=-$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{2}$=3，
∴直線AB交x軸于點（3，0）．
不妨設y₁＞0，y₂＜0，
則S_△ABO=$\frac{1}{2}$×3×y₁-$\frac{1}{2}×3×{y}_{2}$=$\frac{3}{2}$（y₁-y₂），
又F（$\frac{1}{2}$，0），∴S_△AFO=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{y}_{1}$=$\frac{{y}_{1}}{4}$，
∴S_△ABO+S_△AFO=$\frac{7{y}_{1}}{4}$-$\frac{3}{2}$y₂=$\frac{7{y}_{1}}{4}$+$\frac{9}{{y}_{1}}$≥2$\sqrt{\frac{7{y}_{1}}{4}•\frac{9}{{y}_{1}}}$=3$\sqrt{7}$．
故答案為：3$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了拋物線與直線的位置關系，平面向量的數量積運算，基本不等式的應用，屬于中檔題．