Question

15．設f（x）=x³+bx²+cx+d，又k是一個常數，已知k＜0或k＞4時，f（x）-k=0只有一個實根，當0＜k＜4時，f（x）-k=0有三個相異實根，給出下列命題：
①f（x）-4=0和f'（x）=0有一個相同的實根；
②f（x）=0和f'（x）=0有一個相同的實根；
③f（x）+3=0的任一實根大于f（x）-1=0的任一實根；
④f（x）+5=0的任一實根小于于f（x）-2=0的任一實根；
其中正確命題的個數為（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 由已知中f（x）=x³+bx²+cx+d，當k＜0或k＞4時，f（x）-k=0只有一個實根；當0＜k＜4時，f（x）-k=0有三個相異實根，故函數即為極大值，又有極小值，且極大值為4，極小值為0，分析出函數簡單的圖象和性質后，逐一分析四個結論的正誤，即可得到答案．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
當k＜0或k＞4時，f（x）-k=0只有一個實根；
當0＜k＜4時，f（x）-k=0有三個相異實根，
故函數即有極大值，又有極小值，且極大值為4，極小值為0
故f（x）-4=0與f'（x）=0有一個相同的實根，即極大值點，故（1）正確；
f（x）=0與f'（x）=0有一個相同的實根，即極小值點，故（2）正確；
f（x）+3=0有一實根且小于函數最小的零點，f（x）-1=0有三個實根均大于函數最小的零點，故（3）錯誤；
f（x）+5=0有一實根且小于函數最小的零點，f（x）-2=0有三個實根均大于函數最小的零點，故（4）正確；
故選：A．

點評 本題考查了函數與方程的思想，把零點問題轉化為函數交點問題，屬于中檔題．