Question

5．已知圓O：x²+y²=16和點M（1，2$\sqrt{2}$），過點M的圓的兩條弦AC，BD互相垂直，則四邊形ABCD面積的最大值（　　）

• A． 4$\sqrt{30}$
• B． $\sqrt{23}$
• C． 23
• D． 25

Answer 1

分析 連接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分別為E、F，推導出四邊形OEPF為矩形，由OA=OC=4，OM=3，求出AC²+BD²=92，由任意對角線互相垂直四邊形的面積等于對角線乘積的$\frac{1}{2}$，求出當AC=BD時，四邊形ABCD的面積取最大值．

解答 解：如圖，連接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分別為E、F
∵AC⊥BD
∴四邊形OEPF為矩形
已知OA=OC=4，OM=3，
設OE為x，則OF=EP=$\sqrt{O{M}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，
∴AC=2AE=2$\sqrt{O{A}^{2}-O{E}^{2}}$=2$\sqrt{16-{x}^{2}}$，
BD=2DF=2$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+7}$，
∴AC²+BD²=92，
由此可知AC與BD兩線段的平方和為定值，
又∵任意對角線互相垂直四邊形的面積等于對角線乘積的$\frac{1}{2}$，
當AC=BD=$\sqrt{46}$時
四邊形ABCD的面積最大值$\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×\sqrt{46}×\sqrt{46}$=23．
故選：B．

點評 本題考查四邊形的面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數形結合思想的合理運用．